このページではガンマ分布の期待値と分散について、確率密度関数からの導出方法を記載しています。
| 確率密度関数 | \begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}, (0 \lt x) \end{eqnarray*} |
| 期待値 | \(E(X)=k\theta\) |
| 分散 | \(V(X)=k\theta^2\) |
ここで、ガンマ関数：\(\Gamma(k)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } t^{k-1} \mathrm{e}^{-t} dt \) であり、以下の性質を持つ
| \(\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)\) \(\Gamma(k+1) = k!\) \(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\) |
期待値の導出
期待値は上記のガンマ関数の性質を使えるように式変形していきます。
\begin{eqnarray*}E(X)
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }xf(x)dx\\
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\
\end{eqnarray*}
ここで、ガンマ関数の性質：\(\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)\)より、\(\Gamma(k)=\frac{\Gamma(k+1)}{k}\)が成り立つので
\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}\Gamma(k+1)\theta^{-1} \theta^{k+1}}dx \\
&=&\displaystyle k \theta \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+1)\theta^{k+1}}dx
\end{eqnarray*}
\(\displaystyle \int \)の中身はガンマ分布\(Ga(k+1,\theta)\)の確率密度関数となり、\(0 \lt x \lt \infty\)での積分は \(1\) となるので
\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \
&=& k \theta
\end{eqnarray*}
分散の導出
まず、\(X^2\)の期待値を求めます。こちらもガンマ関数の性質を使えるように式変形していきます。
\begin{eqnarray*}E(X^2)
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2}f(x)dx\\
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2} \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\
\end{eqnarray*}
ここで、ガンマ関数の性質：\(\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)\)より、\(\Gamma(k)=\frac{\Gamma(k+1)}{k}=\frac{\Gamma(k+2)}{k(k+1)}\)が成り立つので
\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}{(k+1)}^{-1}\Gamma(k+2)\theta^{-2} \theta^{k+2}}dx \\
&=& k(k+1) \theta^{2} \displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+2) \theta^{k+2}}dx \\
\end{eqnarray*}
\(\displaystyle \int \)の中身はガンマ分布\(Ga(k+2,\theta)\)の確率密度関数となり、\(0 \lt x \lt \infty\)での積分は \(1\) となるので
\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
&=& k(k+1) \theta^{2}
\end{eqnarray*}
よって分散は
\begin{eqnarray*}V(X)&=& E(X^2)-\{E(X)\}^2 \\
&=&k(k+1) \theta^{2}-{(k \theta)}^2\\
&=&k{\theta}^2
\end{eqnarray*}
コメント