指数分布の期待値と分散

このページでは指数分布の期待値と分散について、確率密度関数からの導出方法を記載しています。

確率密度関数\(f(X) = λe^{-λx}\)
期待値\(E(X)=\frac{1}{λ}\)
分散\(V(X)=\frac{1}{λ^2}\)

期待値の導出

期待値は部分積分を使えるように式変形していきます。

\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } xf(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}dx\\ &=&\lambda\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \left(-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x}\right)’dx\end{eqnarray*}

ここで、ここで、部分積分:\(\int f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]-\int f'(x)g(x)dx\)より

\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&\lambda \left(\left[x \left(-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x} \right)\right]_{0}^{\infty}-\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda x}dx \right)\\ &=&\lambda\left(0-\left[\frac{1}{{\lambda}^2}\mathrm{e}^{- \lambda x}\right]_{0}^{\infty}\right)\\ &=&\frac{1}{\lambda}\end{eqnarray*}

分散の導出

まず、\(X^2\)の期待値を求めます。こちらも部分積分を使えるように式変形していきます。

\begin{eqnarray*}E(X^2)
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } x^2 f(x) dx\\
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^2\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}dx\\
&=&\lambda\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^2\left(-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x}\right)’dx\\
&=&\lambda \left(\left[x^2 \left(-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x} \right)\right]_{0}^{\infty}-\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }-2x\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda x}dx \right)\\
&=&\lambda \left(0 + \displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }2x\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda x}dx \right)\\
&=&\lambda \left(2 \frac{1}{{\lambda}^2}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \lambda\mathrm{e}^{\lambda x}dx \right)\end{eqnarray*}

ここで、\(E(X)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \lambda\mathrm{e}^{\lambda x}dx =\frac{1}{\lambda}\)なので

\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&\frac{2}{\lambda} \times \frac{1}{\lambda}\\ &=&\frac{2}{{\lambda}^2}\end{eqnarray*}

よって分散は

\begin{eqnarray*}V(X)&=& E(X^2)-\{E(X)\}^2 \\ &=&\frac{2}{{\lambda}^2}-\frac{1}{{\lambda}^2}\\ &=&\frac{1}{{\lambda}^2}\end{eqnarray*}

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