このページではベルヌーイ分布の期待値と分散について、確率質量関数からの導出方法を記載しています。
| 確率質量関数 | \begin{eqnarray*} P(X=k)=p^k(1-p)^{(1-k)} \end{eqnarray*} |
| 期待値 | \(E(X)=p\) |
| 分散 | \(V(X)=p(1-p)\) |
期待値の導出
ベルヌーイ分布は試行結果が0と1の2種類しか存在しないので、その期待値は
\begin{eqnarray*}E(X)
&=&\sum_{k=0}^{1}kP(X=k)\\
&=&0×(1-p)+1×p\\
&=&p
\end{eqnarray*}
分散の導出
まず、\(X^2\)の期待値も同様に求めます。
\begin{eqnarray*}E(X^2)
&=&\sum_{k=0}^{1}k^2P(X=k)\\
&=&0^{2}×(1-p)+1^{2}×p\\
&=&p
\end{eqnarray*}
よって分散は
\begin{eqnarray*}V(X)&=& E(X^2)-\{E(X)\}^2\\
&=&p(1-p)
\end{eqnarray*}
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