このページでは幾何分布の期待値と分散について、確率質量関数からの導出方法を記載しています。
| 確率質量関数 | \begin{eqnarray*} f(x)=p(1-p)^{x-1}, (x=1,2,\dotsb) \end{eqnarray*} |
| 期待値 | \(E(X)=\frac{1}{p}\) |
| 分散 | \(V(X)=\frac{1-p}{p^2}\) |
期待値の導出
期待値は、
\begin{eqnarray*}E(X)
&=&\sum_{x=1}^\infty xp(1-p)^{x-1}\\
&=&p\sum_{x=1}^\infty x(1-p)^{x-1}\\
\end{eqnarray*}
| ここで、\(\frac{1}{1-x}\)のマクローリン展開を考えると、 \[\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty} x^k\] これの両辺を\(x\)で微分すると、 \[\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}\] となるので |
\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \
&=& p\times \frac{1}{(1-(1-p))^2} \\
&=&\frac{1}{p} \\
\end{eqnarray*}
分散の導出
まず、\(X(X-1)\)の期待値を求めます。
\begin{eqnarray*}E(X(X-1))
&=&\sum_{x=1}^\infty x(x-1)p(1-p)^{x-1} \\
&=& p(1-p) \sum_{x=1}^\infty x(x-1)(1-p)^{x-2} \\
\end{eqnarray*}
| ここで、上記で求めた \[\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}\] をさらに\(x \)で微分すると \[\frac{2}{(1-x)^3}=\sum_{k=1}^\infty k(k-1)x^{k-2}\] となるので |
\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
&=& p(1-p) \frac{2}{(1-(1-p))^3} \\
&=& \frac{2(1-p)}{p^2} \\
\end{eqnarray*}
よって分散は
\begin{eqnarray*}V(X)&=& E(X^2) – \{E(X)\}^2 \\
&=& E(X(X-1))+E(X)-\{E(X)\}^2 \\
&=&\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}\\
&=&\frac{1-p}{p^2}
\end{eqnarray*}
コメント