ベータ分布の期待値と分散

このページではベータ分布の期待値と分散について、確率密度関数からの導出方法を記載しています。

確率密度関数\begin{eqnarray*}
f(x)=\frac{x^{{\alpha}-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha},{\beta})},
(0 \le x \le 1)
\end{eqnarray*}
期待値\(E(X)=\frac{\alpha}{{\alpha}+{\beta}}\)
分散\(V(X)=\frac{{\alpha}{\beta}}{{({\alpha}+{\beta})}^2({\alpha}+{\beta}+1)}\)

ここで、ベータ関数:\(Β(α,β)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 } t^{α-1} {(1-t)}^{β-1} dt \) であり、以下の性質を持つ

\begin{eqnarray*}Β(α+1,β)=\frac{α}{(α+β)}Β(α,β)\end{eqnarray*}

期待値の導出

期待値は上記のベータ関数の性質を使えるように式変形していきます。

\begin{eqnarray*}E(X)
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{1}xf(x)dx\\
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 }x \frac{x^{{\alpha}-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha},{\beta})}dx\\
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 } \frac{x^{({\alpha}+1)-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha},{\beta})}dx\\
\end{eqnarray*}

ここで、ベータ関数の性質より、\[Β(α,β)=\frac{α+β}{α}Β(α+1,β)\]が成り立つのでこれを代入すると、\(\displaystyle \int \)の中身はベータ分布\(Be(\alpha +1,\beta)\)の確率密度関数となり、\(0 \le x \le 1\)での積分は \(1\) となる

\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \
&=&\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 } \frac{x^{({\alpha}+1)-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha + 1},{\beta})}dx\\
&=&\frac{\alpha}{\alpha+\beta}
\end{eqnarray*}

分散の導出

まず、\(X^2\)の期待値を求めます。こちらもベータ関数の性質を使えるように式変形していきます。

\begin{eqnarray*}E(X^2)
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{1}x^2f(x)dx\\
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 }x^2 \frac{x^{{\alpha}-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha},{\beta})}dx\\
&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 } \frac{x^{({\alpha}+2)-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha},{\beta})}dx\\
\end{eqnarray*}

ここで、ベータ関数の性質を繰り返し用いることにより、
\[Β(α,β)
=\frac{α+β}{α}Β(α+1,β)
=\frac{α+β}{α}\frac{(α+1)+β}{α+1}Β(α+2,β)
\]
が成り立つのでこれを代入すると、\(\displaystyle \int \)の中身はベータ分布\(Be(\alpha +2,\beta)\)の確率密度関数となり、\(0 \le x \le 1\)での積分は \(1\) となる

\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
&=&\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\frac{α+1}{α+β+1} \displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 } \frac{x^{({\alpha}+2)-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha + 2},{\beta})}dx\\
&=&\frac{\alpha(α+1)}{(\alpha+\beta)(α+β+1)}
\end{eqnarray*}

よって分散は

\begin{eqnarray*}V(X)&=& E(X^2)-\{E(X)\}^2 \\
&=&\frac{\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+1)}-{\left(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\right)}^2\\
&=&\frac{\alpha\beta}{{(\alpha+\beta)}^{2}(\alpha+\beta+1)}
\end{eqnarray*}

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