二項分布の期待値と分散

このページでは二項分布の期待値と分散について、確率質量関数からの導出方法を記載しています。

期待値の導出

期待値は二項分布の確率質量関数の形を意識しながら式変形していきます。

\begin{eqnarray*}E(X)&=&\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k\ _nC_k p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k\frac{n!}{{(n-k)}!k!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}\end{eqnarray*}

\(\sum\)の中身は、\(k=0\)のとき\(0\)であるので\(\sum_{k=1}^{n}\)としてよく

\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&\sum_{k=1}^{n}\frac{n {(n-1)}!}{{(n-k)}!{(k-1)}!}p p^{k-1}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&np\sum_{k=1}^{n}\frac{{(n-1)}!}{{((n-1)-(k-1))}!{(k-1)}!}p^{k-1}{(1-p)}^{n-k}\end{eqnarray*}

ここで、\(k’=k-1\)とおくと\(\sum\)の中身はパラメータ\((n-1,k’)\)の二項分布の確率質量関数となるので

\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&np\sum_{k’=0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{{((n-1)-k’)}!k’!}p^{k’}{(1-p)}^{(n-1)-k’}\\ &=&np\end{eqnarray*}

分散の導出

まず、\(X^2\)の期待値を求めます。期待値と同様に、二項分布の確率質量関数の形を意識しながら式変形していきます。

\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\sum_{k=0}^{n}k^2P(X=k)\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k^2\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k^2\ _n C_k p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}(k(k-1)+k)\frac{n!}{{(n-k)}!k!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\frac{n!}{{(n-k)}!k!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}+\sum_{k=0}^{n}k\frac{n!}{{(n-k)}!k!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}\end{eqnarray*}

ここで、第１項の\(\sum\)の中身は、\(k=0,1\)のとき\(0\)であるので\(\sum_{k=2}^{n}\)としてよく、また第２項は二項分布の期待値であるため\(np\)となる

\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&\sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{{(n-k)}!(k-2)!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}+np\\ &=&\sum_{k=2}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)!}{{(n-k)}!(k-2)!}p^2p^{k-2}{(1-p)}^{n-k}+np\\ &=&n(n-1)p^2\sum_{k=2}^{n}\frac{(n-2)!}{{((n-2)-(k-2))}!(k-2)!}p^{k-2}{(1-p)}^{n-k}+np\end{eqnarray*}

ここで、\(k’=k-2\)とおくと\(\sum\)の中身はパラメータ\((n-2,k’)\)の二項分布の確率質量関数となるので

\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&n(n-1)p^2\sum_{k’=0}^{n-2}\frac{(n-2)!}{{((n-2)-k’)}!k’!}p^{k’}{(1-p)}^{(n-2)-k’}+np \\&=&n(n-1)p^2+np\end{eqnarray*}

よって分散は

\begin{eqnarray*}V(X)&=& E(X^2)-\{E(X)\}^2\\ &=&n(n-1)p^2+np-{(np)}^2\\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}