正規分布の期待値と分散

このページでは正規分布の期待値と分散について、確率密度関数からの導出方法を記載しています。

期待値の導出

期待値は自然対数の微分：\([\exp{\{f(x)\}}]’=f'(x)\exp{\{f(x)\}}\)を使えるように式変形していきます。

\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } xf(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } (x-\mu+\mu)f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } (x-\mu)\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{\{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}\}}dx+\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } \mu f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } (\frac{x-\mu}{\sigma})\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{\{-\frac{1}{2}{(\frac{x-\mu}{\sigma})}^2\}} dx+\mu\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } (\frac{x-\mu}{\sigma})\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{\{-\frac{1}{2}{(\frac{x-\mu}{\sigma})}^2\}} \sigma\frac{dx}{\sigma}+\mu\end{eqnarray*}

ここで、\(y=\frac{x-μ}{σ}\)とおくと\(\frac{ \mathrm{ d } y }{ \mathrm{ d } x }=\frac{1}{\sigma}　⇆　\mathrm{d}y=\frac{1}{\sigma}\mathrm{d}x\)なので

\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } y\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{\{-\frac{1}{2}{y}^2\}} \sigma dy+\mu\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } -\frac{\sigma}{\sqrt{2π}}{(-\frac{1}{2} {y}^{2})}’\exp{\{-\frac{1}{2}{y}^2\}} dy+\mu\\ &=&\left[- \frac{\sigma}{\sqrt{2π}}\exp{\{-\frac{1}{2}{y}^2\}} \right]_{-\infty}^{\infty}+\mu\\ &=&\mu \end{eqnarray*}

分散の導出

まず、\(X^2\)の期待値を求めます。部分積分を使えるように式変形していきます。

\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } x^2f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } x(x-\mu+\mu)f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } x(x-\mu)\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{\{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}\}}dx+\mu\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } xf(x) dx\\ &=& \displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } x\Bigl[-\frac{σ^2}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{\{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}\}\Bigr]’}dx+\mu E(X) \end{eqnarray*}

ここで、部分積分：\(\int f(x)G'(x)dx = [f(x)G(x)]-\int f'(x)G(x)dx\)、\(E(X)=\mu\)より

\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\left[-x \frac{σ^2}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{\{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}\}} \right]_{-\infty}^{\infty} +σ^2\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{\{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}\}}dx + \mu ^2\\ &=& 0 + σ^2\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } f(x)dx + \mu^2 \\ &=& σ^2 + \mu^2 \end{eqnarray*}

よって分散は

\begin{eqnarray*}V(X)&=& E(X^2)-\{E(X)\}^2 \\ &=& σ^2+\mu^2 – \ \mu^2 \\ &=& σ^2 \end{eqnarray*}